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    Ligne 1: Ligne 1:
     +====== Correction du Partiel de R.O de 2007-2008 ======
     +
     +===== Exercice 1 =====
     +
     +<latex>
     +\[ (P) 
     +\left\{ 
     +\begin{aligned}
     +\mbox{Minimiser} -x_2 \\
     +\mbox{Sous les contraintes}  :\\
     +3x_1 + 2x_2 \le 6 \\
     +-3x_1 + 2x_2 \le 0 \\ 
     +x_1,x_2 \in \mathbb{N}
     +\end{aligned} 
     +\right.
     +\]
     +</latex>
     +
     +==== Question 1) =====
     +
     +Pour $x_1,x_2$ vérifiant $(P)$ on a :\\
     +
     +$6 - 3x_1 + 2x_1 \ge 0$. Donc si on pose : $x_3 &= 6 - 3x_1 + 2x_1$, nous avons :\\
     +$x_3 \ge 0$ et $3x_1 + 2x_2 + x_3 &= 6$\\ \\
     +
     +De même :\\
     +$-3x_1 + 2x_2 \le 0$ 
     +Si on pose $x_4 &= 3x_1 - 2x_2$ on a :\\
     +$x_4 \ge 0$ et $-3x_1 + 2x_2 + x_4 &= 0$\\ \\
     +
     +Ainsi nous avons $(P_c)$ défini par :\\ \\
     +
     +<latex>
     +\[ (P_c) 
     +\left\{ 
     +\begin{aligned}
     +\mbox{Minimiser} -x_2 \\
     +\mbox{Sous les contraintes}  :\\
     +3x_1 + 2x_2 + x_3 &= 6 \\
     +-3x_1 + 2x_2 +x_4 &= 0 \\ 
     +x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb{N}
     +\end{aligned} 
     +\right.
     +\]
     +</latex>
     +
     +==== Question 1) =====
     +
     +On a : 
     +
     +<latex>
     +\[ (P_c) 
     +\left\{ 
     +\begin{aligned}
     +\mbox{Minimiser c}X \\
     +\mbox{Sous les contraintes}  :\\
     +AX &= b \\
     +X \ge 0
     +\end{aligned} 
     +\right.
     +\]
     +</latex>
     +\\
     +Avec : 
     +\\ \\
     +<latex>
     +\[ A &= 
     +\left(
     +  \begin{array}{ c c c c }
     +     3 & 2 & 1 & 0\\
     +     -3 & 2 & 0 & 1
     +  \end{array} 
     +\right)
     +\]
     +\\
     +\[ b &= 
     +\left(
     +  \begin{array}{ c }
     +     6\\
     +     0
     +  \end{array} 
     +\right)
     +\]
     +\\
     +\[ c &= 
     +\left(
     +  \begin{array}{ c c c c}
     +     0 & -1 & 0 & 0
     +  \end{array} 
     +\right)
     +\]
     +</latex>
     +\\ \\
     +On a choisis la base constitué par les 2 premiers vecteurs colonnes de $A$ c'est à dire :\\ \\
     +<latex>
     +\left(\begin{array}{ c }
     +    3\\
     +    -3
     +  \end{array}\right)
     +,\left(\begin{array}{ c }
     +     2\\
     +     2
     +  \end{array}\right)
     +</latex>
     +\\ \\
     +Ce qui donne :\\ \\
     +<latex>B &= 
     +\left(
     +  \begin{array}{ c c}
     +     3 & 2\\
     +     -3 & 2
     +  \end{array} 
     +\right)
     +</latex>\\ \\
     +On inverse la matrice $B$\\ \\
     +<latex>B^{-1}=\frac{1}{det(B)}</latex>