Fonctions caractéristiques

En probabilités et en statistiques, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X détermine de façon unique sa loi de probabilité. Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse de la densité. Les valeurs en zéro des dérivées successives de la fonction caractéristique permettent de calculer les moment moments de la variable aléatoire. Elle est parfois appelée première fonction caractéristique alors que la seconde fonction caractéristique qui en est la transformée logarithmique, est la fonction génératrice des cumulants.

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur $\scriptstyle\ \R\ $ par $\begin{align} \phi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]\\ &=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right]. \end{align} $ Si cette variable aléatoire possède une densité, disons ƒ_X , alors $\begin{align} \phi_{X}(t)&=\int_{\R} f_X (x) e^{itx} \,\mathrm{d}x. \end{align} $ Ainsi, dans le cas d'une variable aléatoire à densité, la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur $\scriptstyle\ 2\pi \,$ près suivant la convention) de la densité. Probablement pour cette raison, il arrive que l'on choisisse une convention différente, à savoir $\scriptstyle\ \phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].$

Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans $\scriptstyle\ \R^d\ $ est la fonction à valeurs complexes définie sur $\scriptstyle\ \R^d\ $ par $\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle u , X \rangle}\right]\,$ où $\scriptstyle\ \langle u , X \rangle\,$ est le produit scalaire de u avec X.

Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa Fonction génératrice par $G(z)=\mathbb{E}\left[z^X\right]$ avec z complexe (quand cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc $\phi_{X}(t)=G\left(e^{it}\right);$ cette fonction G est donc en fait un prolongement de $\scriptstyle\ \phi_{X}.$

• Elle détermine de façon unique la loi d'une variable aléatoire au sens où $\phi_X=\phi_Y\,$ (égalité de fonctions) équivaut à “$X\,$ et $Y\,$ ont la même loi.”

• Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, $\phi_{X+Y}=\phi_{X}\,\phi_{Y}$. Plus généralement, si $X_1, \ldots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble, alors $\phi_{X_1+\cdots+X_n}=\phi_{X_1}\cdots\phi_{X_n}$.

En appliquant alors la transformée de Fourier à $\phi_{X+Y}$ cela permet de retrouver la loi de X+Y.

• Il y a aussi une relation entre les moments et la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Lorsque les moments existent et que la série converge :

$\phi_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^k \mu_k}{k!}t^k$ où $\mu_k$ est le moment d'ordre k.

• Cette relation sert parfois pour calculer la moyenne (premier moment) et la variance d'une variable aléatoire. Plus explicitement

$1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phi^{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[X^2\right]=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)$

$\textrm{Var}(X)=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)+\phi^{\prime 2}_X(0)$.

• La relation suivante sert, par exemple, à calculer la fonction caractéristique d'une variable centrée réduite, à partir de la fonction caractéristique de la variable de départ :

$\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,e^{itb}$.