Probabilités conditionnelles

La notion de probabilité conditionnelle permet de tenir compte dans une prévision d'une information complémentaire. Par exemple, si je tire au hasard une carte d'un jeu, j'estime naturellement à une chance sur quatre la probabilité d'obtenir un cœur ; mais si j'aperçois un reflet rouge sur la table, je corrige mon estimation à une chance sur deux. Cette seconde estimation correspond à la probabilité d'obtenir un cœur sachant que la carte est rouge. Elle est conditionnée par la couleur de la carte ; donc, conditionnelle.

La pratique n'est cependant pas toujours aisée, comme le montrent certains paradoxes tels que le paradoxe des deux enfants, le paradoxe des deux enveloppes, le paradoxe des trois pièces de monnaie et le paradoxe des prisonniers. D'où la nécessité d'une définition rigoureuse.

En théorie des probabilités, la probabilité conditionnelle d'un événement A, sachant qu'un autre événement B de probabilité non nulle s'est réalisé (ou probabilité de A, sachant B) est le nombre noté $\mathbb{P}(A|B)$ défini par : $$\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$$

Le réel $\mathbb{P}(A|B)$ se lit « probabilité de A, sachant B ». $\mathbb{P}(A|B)$ se note aussi parfois $\mathbb{P}_B(A)$.

Mathématiquement, soient $\left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right)$, un espace probabilisé et B un événement de probabilité non nulle (non quasi-impossible). À tout événement A de $\mathcal B$, nous associons le nombre noté $\mathbb{P}(A|B)$ ou $\mathbb{P}_B(A)$ défini par: $$\mathbb{P}_B(A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$$

Nous pourrions vérifier que l'application $\mathbb{P}_B$ définie par $A\mapsto \mathbb{P}_B(A)$ est une probabilité.

Si A et B sont indépendants alors: $$\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)$$

Le théorème de Bayes permet d'écrire $$\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$$

Soit $\left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right)$ un espace probabilisé, X une variable aléatoire réelle intégrable et B un évènement. On appelle espérance conditionnelle :

$$\mathbb{E}(X|B)=\frac{1}{\mathbb{P}(B)}\int_B X d\mathbb{P}$$

$\mathbb{E}(X|B)$ est l'espérance de X sachant que B s'est réalisé.

Soit $\left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right)$, Soit X et Y deux variables aléatoires de loi jointe f(x,y). Soit y₀ tel que $\int f(x,y_0) dx \neq 0$. On appelle densité conditionnelle la loi:

$$g(x|y_0)= \frac{ f(x,y_0) }{\int f(x,y_0) dx }$$