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    divers:cours:probabilites:moments_de_variables_aleatoires [2023/08/30 18:45] – supprimée - modification externe (Unknown date) 127.0.0.1divers:cours:probabilites:moments_de_variables_aleatoires [2023/08/30 19:18] (Version actuelle) – ↷ Page déplacée de etudes:cours:probabilites:moments_de_variables_aleatoires à divers:cours:probabilites:moments_de_variables_aleatoires de-weerd2022
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     +======Moments de variables aléatoires======
     +En probabilités, on définit le moment d'ordre ''n>0'' d'une variable aléatoire''X'', s'il existe, le nombre $m_n = \mathbb{E}[~X^n~] \,$.
      
     +===== Notion de moment =====
     +La notion de //moment// en mathématiques, notamment en variable aléatoire| calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.
     +
     +Soit une fonction $f : I \to R $ continue sur un intervalle $I$ (non réduit à un point) de $\R$. Étant donné un entier naturel ''n'', le ''n''-ième moment de $f$ est défini (sous réserve d'existence) par :
     +:$m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.$
     +
     +//Remarque// : pour un entier naturel ''n'' donné, l'ensemble des fonctions continues sur $I$ dont le moment d'ordre ''n'' existe est un espace vectoriel réel, et l'application $m_n : f \mapsto m_n(f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.
     +
     +=====Estimation des moments=====
     +Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre ''k'':
     +
     +:$\hat m^k= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!$
     +
     +à partir de l'échantillon $X_1, X_2, \cdots, X_n$. 
     +
     +On peut montrer que cet estimateur est sans biais.
     +
     +=====Moments centrés=====
     +On définit le moment centré d'ordre ''n>0'' d'une variable aléatoire''X'', s'il existe, le nombre $\mu_n = \mathbb{E}[~(X-\mathbb{E}(X))^n~] \,$.
     +
     +=====Moments remarquables=====
     +
     +Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.
     +
     +  *Le moment d'ordre un de la variable : $m_1 = \mathbb{E}[X] \,$ (noté souvent //µ//, parfois //m//) correspond à l'espérance.
     +  *Le moment d'ordre deux de la variable //centrée// : $\mu_2 = \sigma^2 = \mathbb{E} \left [\left(X-\mu\right)^2\right] \,$ (notée ''V(X)'' ) correspond à la variance.
     +  *Le moment d'ordre trois de la variable //centrée-réduite// : $\gamma_1 = \frac {\mu_3} {\sigma^3} = \mathbb{E} \left[ \left(\frac{X-\mu}{\sigma} \right)^3 \right] \,$ correspond au coefficient d'asymétrie.
     +  *Le moment d'ordre quatre de la variable //centrée-réduite// : $\beta_2 = \frac{\mu_4} {\sigma^4} = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \,$ correspond au kurtosis.