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     +======Convergence et théorèmes limites======
     +===== Définition =====
      
     +Soit $X_1, X_2, \cdots$ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité, suivant la même loi //D// et indépendantes. Supposons que l'espérance $ \mu $ et l'écart-type $ \sigma $ de //D// existent et soient finis ($\sigma \neq 0$).
     +
     +Considérons la somme $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$. Alors l'espérance de $S_n$ est $n \mu$ et son écart-type vaut $\sigma \sqrt{n}$ . De plus, quand n est //assez grand//, la loi normale $ \mathcal{N} (n \mu , n \sigma^2)$ est une bonne approximation de la loi de $S_n.$
     +
     +Afin de formuler mathématiquement cette approximation, nous allons poser
     +$\overline{X}_n=S_n/n=(X_1+\cdots+X_n)/n\,,$
     +et
     +$Z_n\ =\ \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}\ =\ \frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},$
     +de sorte que l'espérance et l'écart-type de $Z_n$ valent respectivement 0 et 1 : la variable est ainsi dite //centrée et réduite//.
     +
     +Le théorème central limite stipule alors que la loi de $Z_n$ converge vers la loi normale centrée réduite $ \mathcal{N} (0 , 1)$ lorsque //n// tend vers l'infini (il s'agit de la convergence en loi). Cela signifie que si F est la fonction de répartition de $ \mathcal{N} (0 , 1)$, alors pour tout réel //z// :
     +
     +$\lim_{n \to \infty} \mbox{P}(Z_n \le z) = \Phi(z),$
     +
     +ou, de façon équivalente :
     +
     +$\lim_{n\to\infty}\mbox{P}\left(\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leq z\right)=\Phi(z)$
     +
     +===== Démonstration du théorème central limite =====
     +
     +Pour un théorème d'une telle importance en statistiques et en probabilité appliquée, il existe une démonstration particulièrement simple utilisant les [[Fonction caractéristique d'une variable aléatoire|fonctions caractéristiques]]. Cette démonstration ressemble à celle d'une des lois des grands nombres. Pour une variable aléatoire //Y// d'espérance 0 et de variance 1, la fonction caractéristique de //Y// admet le développement limité :
     +
     +$\varphi_Y(t) = 1 - {t^2 \over 2} + o(t^2), \quad t \rightarrow 0.$
     +
     +Si //Y//<sub>//i//</sub> vaut $\frac{X_i - \mu}{\sigma}$, il est facile de voir que la moyenne centrée réduite des observations //X<sub>1</sub>//, //X<sub>2</sub>//, ..., //X<sub>//n//</sub>// est simplement :
     +
     +$Z_n = \frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \sum_{i=1}^n {Y_i \over \sqrt{n}}.$
     +
     +D'après les propriétés élémentaires des fonctions caractéristiques, la fonction caractéristique de $Z_n$ est
     +
     +$\left[\varphi_Y\left({t \over \sqrt{n}}\right)\right]^n = \left[ 1 - {t^2 
     +\over 2n} + o\left({t^2 \over n}\right) \right]^n \, \rightarrow \, e^{-t^2/2}$ lorsque $n \to +\infty.$
     +
     +Mais cette limite est la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$, d'où l'on déduit le théorème de la limite centrale grâce au théorème de continuité de Lévy, qui affirme que la convergence des fonctions caractéristiques implique la convergence en loi.
     +
     +===== Convergence vers la limite =====
     +
     +La convergence de la fonction de répartition de $Z_n$ est uniforme, en vertu du deuxième théorème de Dini. Si le moment d'ordre 3, $\mathrm{E}[ (X-\mu)^3]$ existe et est fini, alors la vitesse de convergence est au moins d'ordre $1/\sqrt{n}$ (voir le théorème de Berry-Esseen).
     +
     +Images d'une loi lissées par sommation qui montrent la distribution de la loi originale et trois sommations successives (obtenues par convolution) :
     +
     +
     +
     +Dans les applications pratiques, ce théorème permet en particulier de remplacer une somme de variables aléatoires en nombre assez grand mais fini par une approximation normale, généralement plus facile à manipuler. 
     +
     +Une somme de //variables continues// est une variable continue dont on peut comparer la //densité de probabilité// à celle de la limite normale.
     +Avec une somme de //variables discrètes//, il est parfois commode de définir une pseudo-densité de probabilité mais l'outil le plus efficace est la //fonction de probabilité// représentée par un diagramme en bâtons. On peut constater graphiquement une certaine cohérence entre les deux diagrammes, difficile à interpréter. Dans ce cas, il est plus efficace de comparer les //fonctions de répartition//.
     +
     +D'autre part, l'approximation normale est particulièrement efficace au voisinage des valeurs centrales. Certains disent même qu'en matière de convergence vers la loi normale, l'infini commence souvent à six.
     +
     +La précision se dégrade à mesure qu'on s'éloigne de ces valeurs centrales. C'est particulièrement vrai pour une somme de variables positives par nature : la loi normale fait toujours apparaître des valeurs négatives avec des probabilités faibles mais non nulles. Même si c'est moins choquant, cela reste vrai en toutes circonstances : alors que toute grandeur physique est nécessairement bornée, la loi normale qui couvre un intervalle infini n'est qu'une approximation utile.
     +
     +Enfin, pour un nombre donné de termes de la somme, l'approximation normale est d'autant meilleure que la distribution est plus symétrique.