Moments de variables aléatoires

En probabilités, on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoireX, s'il existe, le nombre $m_n = \mathbb{E}[~X^n~] \,$.

La notion de moment en mathématiques, notamment en variable aléatoire| calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \to R $ continue sur un intervalle $I$ (non réduit à un point) de $\R$. Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de $f$ est défini (sous réserve d'existence) par : :$m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.$

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur $I$ dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application $m_n : f \mapsto m_n(f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre k:

:$\hat m^k= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!$

à partir de l'échantillon $X_1, X_2, \cdots, X_n$.

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

On définit le moment centré d'ordre n>0 d'une variable aléatoireX, s'il existe, le nombre $\mu_n = \mathbb{E}[~(X-\mathbb{E}(X))^n~] \,$.

Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.

• Le moment d'ordre un de la variable : $m_1 = \mathbb{E}[X] \,$ (noté souvent µ, parfois m) correspond à l'espérance.
• Le moment d'ordre deux de la variable centrée : $\mu_2 = \sigma^2 = \mathbb{E} \left [\left(X-\mu\right)^2\right] \,$ (notée V(X) ) correspond à la variance.
• Le moment d'ordre trois de la variable centrée-réduite : $\gamma_1 = \frac {\mu_3} {\sigma^3} = \mathbb{E} \left[ \left(\frac{X-\mu}{\sigma} \right)^3 \right] \,$ correspond au coefficient d'asymétrie.
• Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite : $\beta_2 = \frac{\mu_4} {\sigma^4} = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \,$ correspond au kurtosis.