Table des matières

Fonctions caractéristiques

En probabilités et en statistiques, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X détermine de façon unique sa loi de probabilité. Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse de la densité. Les valeurs en zéro des dérivées successives de la fonction caractéristique permettent de calculer les moment moments de la variable aléatoire. Elle est parfois appelée première fonction caractéristique alors que la seconde fonction caractéristique qui en est la transformée logarithmique, est la fonction génératrice des cumulants.

Définition

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur $\scriptstyle\ \R\ $ par $\begin{align} \phi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]\\ &=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right]. \end{align} $ Si cette variable aléatoire possède une densité, disons ƒX , alors $\begin{align} \phi_{X}(t)&=\int_{\R} f_X (x) e^{itx} \,\mathrm{d}x. \end{align} $ Ainsi, dans le cas d'une variable aléatoire à densité, la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur $\scriptstyle\ 2\pi \,$ près suivant la convention) de la densité. Probablement pour cette raison, il arrive que l'on choisisse une convention différente, à savoir $\scriptstyle\ \phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].$

Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans $\scriptstyle\ \R^d\ $ est la fonction à valeurs complexes définie sur $\scriptstyle\ \R^d\ $ par $\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle u , X \rangle}\right]\,$ où $\scriptstyle\ \langle u , X \rangle\,$ est le produit scalaire de u avec X.

Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa Fonction génératrice par $G(z)=\mathbb{E}\left[z^X\right]$ avec z complexe (quand cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc $\phi_{X}(t)=G\left(e^{it}\right);$ cette fonction G est donc en fait un prolongement de $\scriptstyle\ \phi_{X}.$

Propriétés de la fonction caractéristique

En appliquant alors la transformée de Fourier à $\phi_{X+Y}$ cela permet de retrouver la loi de X+Y.

$\phi_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^k \mu_k}{k!}t^k$ où $\mu_k$ est le moment d'ordre k.

$1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phi^{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[X^2\right]=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)$

$\textrm{Var}(X)=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)+\phi^{\prime 2}_X(0)$.

$\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,e^{itb}$.