<latex> \[ (P) \left\{ \begin{aligned} \mbox{Minimiser} -x_2 \\ \mbox{Sous les contraintes} :\\ 3x_1 + 2x_2 \le 6 \\ -3x_1 + 2x_2 \le 0 \\ x_1,x_2 \in \mathbb{N} \end{aligned} \right. \] </latex>
Pour $x_1,x_2$ vérifiant $(P)$ on a :
$6 - 3x_1 + 2x_1 \ge 0$. Donc si on pose : $x_3 &= 6 - 3x_1 + 2x_1$, nous avons :
$x_3 \ge 0$ et $3x_1 + 2x_2 + x_3 &= 6$
De même :
$-3x_1 + 2x_2 \le 0$
Si on pose $x_4 &= 3x_1 - 2x_2$ on a :
$x_4 \ge 0$ et $-3x_1 + 2x_2 + x_4 &= 0$
Ainsi nous avons $(P_c)$ défini par :
<latex> \[ (P_c) \left\{ \begin{aligned} \mbox{Minimiser} -x_2 \\ \mbox{Sous les contraintes} :\\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 &= 6 \\ -3x_1 + 2x_2 +x_4 &= 0 \\ x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb{N} \end{aligned} \right. \] </latex>
On a :
<latex>
\[ (P_c)
\left\{
\begin{aligned}
\mbox{Minimiser c}X \\
\mbox{Sous les contraintes} :\\
AX &= b \\
X \ge 0
\end{aligned}
\right.
\]
</latex>
Avec :
<latex>
\[ A &=
\left(
\begin{array}{ c c c c }
3 & 2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]
\[ b &=
\left(
\begin{array}{ c }
6\\
0
\end{array}
\right)
\]
\[ c &=
\left(
\begin{array}{ c c c c}
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
</latex>
On a choisis la base constitué par les 2 premiers vecteurs colonnes de $A$ c'est à dire :
<latex>
\left(\begin{array}{ c }
3\\ -3 \end{array}\right)
,\left(\begin{array}{ c }
2\\ 2 \end{array}\right)
</latex>
Ce qui donne :
<latex>B &=
\left(
\begin{array}{ c c} 3 & 2\\ -3 & 2 \end{array}
\right)
</latex>
On inverse la matrice $B$
<latex>B^{-1}=\frac{1}{det(B)}</latex>